Hur mycket är 10 upphöjt till 4

Lösningsförslag:

a)

Eftersom dem båda faktorerna besitter identisk bas, 3, använder oss räkneregeln till multiplikation från potenser.

$$ {3}^{3}\cdot{3}^{2}={3}^{3+2}={3}^{5}$$

b)

I detta på denna plats fallet besitter oss tre faktorer, dock oss är kapabel ändå nyttja räkneregeln till multiplikation från potenser, angående oss kalkylerar produkten inom numeriskt värde steg.

Kom även minnas för att 10 existerar identisk sak såsom 10¹.

$${10}^{2}\cdot{10}^{5}\cdot10=$$

$$= {10}^{2+5}\cdot10=$$

$$={10}^{7}\cdot10=$$

$$={10}^{7+1}= $$

$$={10}^{8}$$

Division tillsammans med potenser

Även då oss dividerar potenser finns detta räkneregler såsom fullfölja detta enklare till oss för att räkna då potenserna besitter identisk bas.

Vi bör börja tillsammans med för att titta vid en modell tillsammans med ett kvot var täljaren samt divisor existerar potenser tillsammans basen 10:

$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}$$

På identisk sätt liksom oss visade vilket gäller multiplikation, är kapabel oss beräkna detta på denna plats uttrycket genom för att nedteckna potenserna vilket varor från en antal 10-faktorer, således här:

$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}=\frac{10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10}{10\cdot10\cdot10}$$

Hur bör oss idag vandra vidare?

Jo, eftersom faktorn 10 förekommer tre gånger inom produkterna inom täljaren samt divisor, kunna oss göra kortare täljaren samt divisor tillsammans 10 tre gånger.

detta ger oss detta resultat:

$$\frac{10\cdot10\cdot10\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}=$$

$$=\frac{10\cdot10\cdot10}{1}=$$

$$=1\,000={10}^{3}$$

Alltså blir den ursprungliga kvoten denna tiopotens:

$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}={10}^{3}$$

Ett snabbare sätt för att beräkna denna kvot existerar för att behålla basen 10 samt låta den nya exponenten existera lika tillsammans differensen mellan 6 samt 3, således här:

$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}={10}^{6-3}={10}^{3}$$

Det denna plats existerar enstaka allmän räkneregel likt gäller då oss dividerar numeriskt värde potenser såsom besitter identisk bas: basen ändras ej, dock exponenten blir lika tillsammans differensen mellan täljarens samt nämnarens exponenter.

Vi är kapabel alltså räkna vid identisk sätt ifall oss mot modell bör dividera numeriskt värde potenser såsom äger basen 2:

$$ \frac{{2}^{5}}{{2}^{3}}={2}^{5-3}={2}^{2}$$

Allmänt är kapabel oss notera den på denna plats räkneregeln sålunda här:

$$ \frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}$$

där a existerar basen likt existerar gemensam till dem båda potenserna, samt b samt c existerar exponenterna.

---

Skriv kvoten såsom ett enda potens

$$ a)\,\,\frac{{5}^{9}}{{5}^{6}}$$

$$b)\,\,\frac{{10}^{3}\cdot{10}^{2}}{{10}^{4}}$$

Lösningsförslag:

a)

Vi ser för att potenserna inom täljaren samt divisor besitter identisk bas.

Därför kunna oss nyttja räkneregeln till division från potenser:

$$ \frac{{5}^{9}}{{5}^{6}}={5}^{9-6}={5}^{3}$$

Om oss kalkylerar värdet från denna potens, således kommer oss fram mot för att uttrycket existerar lika tillsammans med 125.

b)

I den på denna plats uppgiften besitter oss en formulering var kvoten äger ett vara från potenser inom täljaren samt enstaka potens inom divisor.

Nedan följer två exempel där vi räknar med potenser

oss kunna förenkla uttrycket genom för att ursprunglig nyttja räkneregeln på grund av multiplikation från potenser vid uttrycket inom täljaren, samt sedan dividera potenserna.

Vi börjar tillsammans för att multiplicera potenserna inom täljaren:

$$ \frac{{10}^{3}\cdot{10}^{2}}{{10}^{4}}=\frac{{10}^{3+2}}{{10}^{4}}=\frac{{10}^{5}}{{10}^{4}}$$

Nu förmå oss dividera potenserna tillsammans hjälp från räkneregeln till division:

$$ \frac{{10}^{5}}{{10}^{4}}={10}^{5-4}={10}^{1}$$

Efter för att oss besitter förenklat uttrycket blev detta lika tillsammans 10.

---

Potenser tillsammans exponenten noll

När oss för tillfället äger lärt oss räkneregeln likt gäller nära division från potenser liksom besitter identisk bas, bör oss vandra vidare samt undersöka vad detta innebär för att äga enstaka potens tillsammans med exponenten lika tillsammans med noll.

Till modell önskar oss känna till värdet från denna potens:

$$ {10}^{0}$$

Från räkneregeln på grund av division från potenser vet oss hur oss kalkylerar ett kvot från typen

$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}$$

Denna kvot bör existera lika tillsammans enstaka potens tillsammans med basen 10, vars exponent existerar differensen mellan täljarens samt nämnarens exponenter, således här:

$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}={10}^{2-2}={10}^{0}$$

Men oss vet även för att oss kunna notera potenserna inom täljaren samt divisor liksom varor från 10-faktorer, samt sedan förkorta:

$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}=\frac{10\cdot10}{10\cdot10}=\frac{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}=\frac{1}{1}=1$$

Av detta denna plats kunna oss dra slutsatsen att

$$ {10}^{0}=1$$

På motsvarande sätt är kapabel oss anlända fram mot för att även potenser tillsammans med andra baser än 10 likt äger exponenten 0 existerar lika tillsammans 1.

Allmänt gäller därför att

$$ {a}^{0}=1$$

där a existerar potensens bas.

---

Förenkla uttrycket

$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{4}\cdot{4}^{2}}$$

Lösningsförslag:

Vi börjar tillsammans med för att förenkla divisor tillsammans hjälp från räkneregeln på grund av multiplikation från potenser.

$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{4}\cdot{4}^{2}}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{4+2}}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{6}}$$

Sedan förenklar oss uttrycket tillsammans med hjälp från räkneregeln på grund av division från potenser.

$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{6}}={4}^{6-6}={4}^{0}=1$$

Efter för att oss dividerade såg oss alltså för att oss fick enstaka potens tillsammans exponenten noll, vilket måste existera lika tillsammans med 1.

Därför existerar all uttrycket lika tillsammans 1.

Videolektioner

Här går oss igenom 10-potenser.

Här går oss igenom multiplikation tillsammans 10-potenser.

Här går oss igenom division tillsammans med 10-potenser.

Här går oss igenom multiplikation tillsammans potenser.

Här går oss igenom division tillsammans potenser.

Här går oss igenom potenser såsom besitter exponenten 0.